裂項相消是什么?
來源:高三網(wǎng) 2021-11-29 23:15:48
裂項相消是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用。裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的。
1裂項相消公式
。1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]
。2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
。3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
。4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
。5)n·n!=(n+1)!-n!
。6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
。7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n
。8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]
2裂項相消的例子
[例] 求數(shù)列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解:設 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂項)
則 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂項求和)
= 1-1/(n+1)
。 n/(n+1)
小結(jié):此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后,其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
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