如何證明面面平行
來源:網(wǎng)絡(luò)整理 2020-09-06 14:21:39
面面平行的判定定理為如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;如果兩個平面都垂直同一條直線,那么這兩個平面是互相平行的。
1面面平行證明方法
如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行。
幾何語言:a?α,b?α,且a∩b=A,a∥β,b∥β。則α∥β。
反證法證明:假設(shè)這兩個平面不平行,那么它們相交,設(shè)交線為l。
∵a∥β
∴a與β無交點(diǎn)
同理,b與β無交點(diǎn)
∵l是兩個平面的交線,l?β
∴a與l無交點(diǎn),b與l無交點(diǎn),那么它們平行或異面。
又∵a?α,b?α,l?α,即它們不異面
∴a∥l,b∥l
∴a∥b
這與已知條件a∩b=A矛盾,因此假設(shè)不成立,α∥β
向量法證明:設(shè)直線a,b的方向向量為a,b,平面β的法向量為p。
∵a∥β,b∥β
∴a⊥p,b⊥p,即a·p=0,b·p=0
∵a,b是α內(nèi)兩條相交直線
∴設(shè)有任一向量c?α,根據(jù)平面向量基本定理可知,存在一對有序數(shù)對(x,y)使得c=xa+yb
那么p·c=p·(xa+yb)=xp·a+yp·b=0
即p⊥c
由c的任意性可知p與α內(nèi)任一向量都垂直,即p也是α的法向量。
∴α∥β
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