線面平行可以得到線線平行嗎?
來源:網(wǎng)絡(luò)整理 2020-09-06 13:41:49
可以推出。線面平行只能說,過這條直線作一平面和這平面的交線與這條直線平行,在這平面內(nèi)所有與這條交線平行的直線也和這條直線平行。面面平行中,這兩個(gè)平面內(nèi)的直線還有可能是異面直線。
1直線性質(zhì)定理
定理1
一條直線和一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 。
已知:a∥α,a∈β,α∩β=b。求證:a∥b
證明:假設(shè)a與b不平行,設(shè)它們的交點(diǎn)為P,即P在直線a,b上。
∵b∈α,∴a∩α=P
與a∥α矛盾
∴a∥b
此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。
注意:直線與平面平行,不代表與這個(gè)平面所有的直線都平行,但直線與平面垂直,那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直。
定理2
一條直線與一個(gè)平面平行,則該直線垂直于此平面的垂線。
已知:a∥α,b⊥α。求證:a⊥b
證明:由于α的垂線有無數(shù)條,因此可將b平移至與a相交,設(shè)平移的直線為c,a∩c=M,c與α的垂足為N。
∵兩條相交直線確定一個(gè)平面
∴設(shè)a和c構(gòu)成的平面為β,且α∩β=l
∵N∈c,N∈α,c?β
∴N∈l,且由定理1可知a∥l
∵c⊥α,l?α
∴c⊥l
∴a⊥c
由于平移不改變直線的方向,因此a⊥b
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