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線面平行可以得到線線平行嗎?

來源:網(wǎng)絡整理 2020-09-06 13:41:49

  可以推出。線面平行只能說,過這條直線作一平面和這平面的交線與這條直線平行,在這平面內(nèi)所有與這條交線平行的直線也和這條直線平行。面面平行中,這兩個平面內(nèi)的直線還有可能是異面直線。

  1直線性質(zhì)定理

  定理1

  一條直線和一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 。

  已知:a∥α,a∈β,α∩β=b。求證:a∥b

  證明:假設a與b不平行,設它們的交點為P,即P在直線a,b上。

  ∵b∈α,∴a∩α=P

  與a∥α矛盾

  ∴a∥b

  此定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

  注意:直線與平面平行,不代表與這個平面所有的直線都平行,但直線與平面垂直,那么這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都垂直。

  定理2

  一條直線與一個平面平行,則該直線垂直于此平面的垂線。

  已知:a∥α,b⊥α。求證:a⊥b

  證明:由于α的垂線有無數(shù)條,因此可將b平移至與a相交,設平移的直線為c,a∩c=M,c與α的垂足為N。

  ∵兩條相交直線確定一個平面

  ∴設a和c構成的平面為β,且α∩β=l

  ∵N∈c,N∈α,c?β

  ∴N∈l,且由定理1可知a∥l

  ∵c⊥α,l?α

  ∴c⊥l

  ∴a⊥c

  由于平移不改變直線的方向,因此a⊥b

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