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三點(diǎn)共線(xiàn)可以推出什么?

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)整理 2020-09-06 14:29:09

  三點(diǎn)共線(xiàn)是數(shù)學(xué)中的一種術(shù)語(yǔ),屬幾何類(lèi)問(wèn)題,指的是三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上?梢栽O(shè)三點(diǎn)為A、B、C,利用向量可以推出λAB=AC(其中λ為非零實(shí)數(shù))。

  1三點(diǎn)共線(xiàn)性質(zhì)及證明方法

  第一大類(lèi):純幾何

 、僭级x:證明ABC(依次排列,B在AC之間)三點(diǎn)共線(xiàn),只證∠ABC=180°或者AC=AB+BC。

  這個(gè)很好理解。

  衍生出方法:

  1.外面還有D點(diǎn),而且DB⊥AB且DB⊥CB則ABC三點(diǎn)共線(xiàn)。

  2.對(duì)頂角相等的逆定理

 、诰(xiàn)段比值法:著名的梅涅勞斯定理(逆定理)

  ③用已知定理。數(shù)學(xué)里面有很多定理是用來(lái)證明三點(diǎn)共線(xiàn)的,比如歐拉線(xiàn)定理、西姆松定理、帕斯卡定理……只要看題目里面的情境是不是符合這些定理成立的條件。

  第二大類(lèi):解析幾何——平面向量

  證明向量AB和向量BC平行(即AB向量=αBC向量,α是非零實(shí)數(shù)),當(dāng)然也可以證明向量AC和BC,AB和AC共線(xiàn)……

  衍生方法:①證明AB、BC共用同一個(gè)法向量n即n·AB=n·AC=0②證明AB·BC(點(diǎn)乘)=|AB|·|AC|或-|AB||AC|。③相對(duì)來(lái)說(shuō)稍微高深一點(diǎn)的:另外找一點(diǎn)D,如果向量DB可以寫(xiě)成 a向量DA+(1-a)向量DC這種形式,則ABC三點(diǎn)共線(xiàn)。就用上述AB向量=αBC向量這個(gè)條件,把AB換成DB-DA,BC換成DC-DB帶進(jìn)去就得到。

  第三大類(lèi):解析幾何——方程

  證明A、B、C三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足同一個(gè)直線(xiàn)方程y=kx+b(當(dāng)然直線(xiàn)也可能時(shí)其他形式,比如Ax+By+C=0)。衍生方法:可以證明AB直線(xiàn)斜率等于BC斜率。

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