2025年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、函數(shù)奇偶性
來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)整理 2024-11-13 14:51:20
指數(shù)函數(shù)的一般形式為,從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域,則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。
可以看到:
。1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對(duì)于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。
。2)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
。3)函數(shù)圖形都是下凹的。
。4)a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則為單調(diào)遞減的。
。5)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律,就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0),函數(shù)的曲線(xiàn)從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線(xiàn)y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。
。6)函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于X軸,永不相交。
。7)函數(shù)總是通過(guò)(0,1)這點(diǎn)。
。8)顯然指數(shù)函數(shù)無(wú)界。
奇偶性
注圖:(1)為奇函數(shù)(2)為偶函數(shù)
1.定義
一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)
(1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。
(2)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。
(3)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。
。4)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。
說(shuō)明:①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),對(duì)整個(gè)定義域而言
②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則這個(gè)函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。
。ǚ治觯号袛嗪瘮(shù)的奇偶性,首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),然后再?lài)?yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)
③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義
2.奇偶函數(shù)圖像的特征:
定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖表,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對(duì)稱(chēng)圖形。
f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
點(diǎn)(x,y)→(-x,-y)
奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上也是單調(diào)遞增。
偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增,則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)遞減。
3.奇偶函數(shù)運(yùn)算
(1).兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).
(2).兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).
(3).一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).
(4).兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(5).兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(6).一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).
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