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和差化積和積化和差的公式?

來(lái)源:高三網(wǎng) 2021-11-29 22:52:47

  三角函數(shù)始終都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大障礙,不少人經(jīng)常抱怨三角函數(shù)太雜公式太多,以下是關(guān)于三角函數(shù)中和差化積和積化和差的公式

  和差化積公式

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  積化和差公式

  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

  記憶方法

  積化和差公式的形式比較復(fù)雜,記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn),下面指出了特點(diǎn)各自的簡(jiǎn)單記憶方法。

  這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域來(lái)判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域應(yīng)該 是[-2,2],而積的值域卻是[-1,1],因此除以2是必須的。

  也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶,因?yàn)檎归_兩角和差公式后,未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如:

  cos(α-β)-cos(α+β)

  =(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

  =2sinαsinβ

  故最后需要除以2。

  和差化積

  如何只記兩個(gè)公式甚至一個(gè)我們可以只記上面四個(gè)公式的第一個(gè)和第三個(gè)。而第二個(gè)公式中的-sinβ=sin(β+π),也就是sinα-sinβ=sinα+sin(β+π),這就可以用第一個(gè)公式解決。同理第四個(gè)公式中,cosα-cosβ=cosα+cos(β+π),這就可以用第三個(gè)公式解決。

  如果對(duì)誘導(dǎo)公式足夠熟悉,可以在運(yùn)算時(shí)把cos全部轉(zhuǎn)化為sin,那樣就只記住第一個(gè)公式就行了。

  用的時(shí)候想得起一兩個(gè)就行了。結(jié)果乘以2這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其積的值域也應(yīng)該是[-1,1],而和差的值域卻是[-2,2],因此乘以2是必須的,下面是簡(jiǎn)單的口訣

  口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

  賽賽之和賽口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

  口口之差負(fù)賽賽 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

  賽賽之差口賽收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

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