反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)知識點
來源:網(wǎng)絡(luò)整理 2021-05-12 21:13:14
反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的兩條曲線,反比例函數(shù)圖象中每一象限的每一條曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標(biāo)軸相交(y≠0)。
1反比例函數(shù)公式口訣
反比例函數(shù)雙曲線,待定只需一個點,正k落在一三限,x增大y在減,圖象上面任意點,矩形面積都不變,對稱軸是角分線,x、y的順序可交換。
2反比例函數(shù)圖象
當(dāng)k>0時,兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi);當(dāng)k<0時,兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi),兩個分支無限接近x和y軸,但永遠(yuǎn)不會與x軸和y軸相交.
圖象畫法
1)列表
x...-3 -2 -1 1 2 3 4 ...
y...-4 -6 -12 12 6 4 3 ...
2)在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(一般標(biāo)5個點,稱為5點作圖法)。
3)用平滑的曲線連接點。
當(dāng)K>0時,在圖象所在的每一象限內(nèi),Y隨X的增大而減小。
當(dāng)K<0時,在圖象所在的每一象限內(nèi),Y隨X的增大而增大。
當(dāng)兩個數(shù)相等時那么曲線呈彎月型。
k的意義及應(yīng)用
過反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)圖象上任意一點P(x,y),作兩坐標(biāo)軸的垂線,兩垂足、原點、P點組成一個矩形,矩形的面積為|k|。過反比例函數(shù)圖象一點,作任一坐標(biāo)軸的垂線,并連接原點,圍成的三角形的面積為|k|/2。
研究函數(shù)問題要透視函數(shù)的本質(zhì)特征。反比例函數(shù)中,比例系數(shù)k有一個很重要的幾何意義,那就是:過反比例函數(shù)圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN,垂足為M、N則矩形PMON的面積為|k|。
所以,對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線,它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù)。這個常數(shù)是k的絕對值。在解有關(guān)反比例函數(shù)的問題時,若能靈活運用反比例函數(shù)中k的幾何意義,會給解題帶來很多方便。
3反比例函數(shù)性質(zhì)
單調(diào)性
當(dāng)k>0時,圖象分別位于第一、三象限,每一個象限內(nèi),從左往右,y隨x的增大而減小;
當(dāng)k<0時,圖象分別位于第二、四象限,每一個象限內(nèi),從左往右,y隨x的增大而增大。
k>0時,函數(shù)在x<0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù);k<0時,函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。
相交性
因為在y=k/x(k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交,只能無限接近x軸,y軸。
面積
在一個反比例函數(shù)圖像上任取兩點,過點分別作x軸,y軸的平行線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為|k|,
反比例函數(shù)上一點 向x 、y 軸分別作垂線,分別交于y軸和x軸,則QOWM的面積為|k|,則連接該矩形的對角線即連接OM,則RT△OMQ的面積=?|k|。
圖像表達(dá)
反比例函數(shù)圖象不與x軸和y軸相交的漸近線為:x軸與y軸。
k值相等的反比例函數(shù)圖象重合,k值不相等的反比例函數(shù)圖象永不相交。
|k|越大,反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。
對稱性
反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形,對稱中心是原點;反比例函數(shù)的圖象也是軸對稱圖形,其對稱軸為y=x或y=-x;反比例函數(shù)圖象上的點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。
圖象關(guān)于原點對稱。若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù) 交于A、B兩點(m、n同號),那么A B兩點關(guān)于原點對稱。
反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=±x軸對稱,并且關(guān)于原點中心對稱。
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