相等向量是共線向量嗎?

來源：網(wǎng)絡(luò)整理 2020-09-06 13:40:17

[標(biāo)簽：高考數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)知識點(diǎn)]

　　兩個(gè)概念不一樣，長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量(這個(gè)不管你長度會不會相等).表示為a∥b，任意一組平行向量都可移到同一直線上，因此平行向量也叫共線向量。

　　1共線向量基本定理

　　如果a≠0，那么向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得b=λa。

　　證明：

　　1）充分性：對于向量 a(a≠0)、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使 b=λa，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知，向量a與b共線。

　　2）必要性：已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么當(dāng)向量a與b同方向時(shí)，令 λ=m，有 b=λa，當(dāng)向量a與b反方向時(shí)，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

　　3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。

　　證畢。

　　推論

　　兩個(gè)向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù)λ、μ，使得 λa+μb=0。

　　證明：

　　1）充分性，不妨設(shè)μ≠0，則由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由共線向量基本定理知，向量a與b共線。

　　2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實(shí)數(shù)λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個(gè)不為零的實(shí)數(shù)，即有 λa+μb=0。

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