高考數(shù)學知識點：函數(shù)導數(shù)不等式(4)

　　36． 解：（Ⅰ）當 , 時 , ,

　　所以 在  遞增,所以 … …………………………4分

　�。á颍�①當 時， ， ， ， 恒成立,

　　在 上增函數(shù),故當 時， ……… ……………5分

　　②當 時， ， ，

　�。╥）    當 即 時， 在 時為正數(shù)，

　　所以 在區(qū)間 上為增函數(shù),故當 時， ，且此時  …………7分

　　(ii)當 ,即 時，

　　在 時為負數(shù)，在間  時為正數(shù),

　　所以 在區(qū)間 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù),

　　故當 時， ，且此時  ………………8分

　　(iii)當 ,即  時， 在 時為負數(shù)，

　　所以 在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，

　　故當 時， …………… ………………………………………9分

　　綜上所述，函數(shù) 的最小值為   ………10分

　　所以當 時,得 ；當 ( )時,無解；

　　當  （ ）時,得 不成立.  綜上,所求 的取值范圍是 ……………11分

　�。á螅�①當 時, 在 單調遞增,

　　由 ,得  … ………………12分

　�、诋� 時， 在 先減后增,由 ,

　　得 ,

　　設 , ,

　　所以 單調遞增且 ，所以 恒成立得 … … …………14分

　　③當 時, 在 遞增，在 遞減，

　　在 遞增,所以由  ,

　　得 ,設 ,

　　則 ,所以 遞增，且 ,所以 恒成立，無解.

　　④當 時， 在 遞增，在 遞減，在 遞增,

　　所以由  得 無解.

　　綜上,所求 的取值范圍是 ………………16分

　　37． 解答：（1）方程 ，即 ，變形得 ，

　　顯然， 已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程 ，

　　有且僅有一個等于1的解或無解， 結合圖形得 .   …………………4分

　�。�2）不等式 對 恒成立，即 （*）對 恒成立，

　�、佼� 時，（*）顯然成立，此時 ；

　　②當 時，（*）可變形為 ，令

　　因為當 時， ，當 時， ，所以 ，故此時 .

　　綜合①②，得所求實數(shù) 的取值范圍是 .  …………………………………8分

　�。�3）因為 = …10分

　　①當 時，結合圖形可知 在 上遞減，在 上遞增，

　　且 ，經(jīng)比較，此時 在 上的最大值為 .

　�、诋� 時，結合圖形可知 在 ， 上遞減，

　　在 ， 上遞增，且 ， ，

　　經(jīng)比較，知此時 在 上的最大值為 .

　�、郛� 時，結合圖形可知 在 ， 上遞減，

　　在 ， 上遞增，且 ， ，

　　經(jīng)比較，知此時  在 上的最大值為 .

　�、墚� 時，結合圖形可知 在 ， 上遞減，

　　在 ， 上遞增，且 ,  ，

　　經(jīng)比較，知此時  在 上的最大值為 .

　　當 時，結合圖形可知 在 上遞減，在 上遞增，

　　故此時  在 上的最大值為 .

　　綜上所述，當 時， 在 上的最大值為 ；當 時，  在 上的最大值為 ；當  時，  在 上的最大值為0.………………………………………16分

　　38、解：(Ⅰ)對任意 ， ，

　　， ，所以 .

　　對任意的 ，  ，

　　，

　　所以0＜  ，

　　令 ＝ ， ，

　　，所以 .                  ………5分

　　(Ⅱ)反證法:設存在兩個 使得 ， 則

　　由 ，得 ，所以 ，矛盾，故結論成立.  (Ⅲ) ，

　　所以

　　……

　　……

　�。�…+

　　.              ………13分

　　39、解：（1）由題意可得： ， 。

　�。�2） ， ，

　　當 時，

　　當 時，

　　當 時， 綜上所述， 。

　　即存在 ，使得 是[-1,4]上的"4階收縮函數(shù)"。

　�。�3） ，令 得 或 。函數(shù) 的變化情況如下：

　　x         0         2

　　-    0    +    0    -

　　0         4

　　令 得 或 。

　　（i）當 時， 在 上單調遞增，因此， ， 。因為 是 上的"二階收縮函數(shù)"，所以，

　�、� 對 恒成立；

　�、诖嬖� ，使得 成立。

　�、偌矗� 對 恒成立，由 解得 或 。

　　要使 對 恒成立，需且只需 。

　　②即：存在 ，使得 成立。

　　由 解得 或 。

　　所以，只需 。綜合①②可得 。

　�。╥ i）當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減，因此， ， ， ，顯然當 時， 不成立。

　　（i i i）當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減，因此， ， ， ，顯然當 時， 不成立。

　　綜合（i）（i i）（i i i）可得： 。

　　40、解：（Ⅰ） ，（ ），

　　在區(qū)間 和 上， ；在區(qū)間 上， .

　　所以， 的單調遞減區(qū)間是 和 ，單調遞增區(qū)間是 .

　　（Ⅱ）設切點坐標為 ，則    解得 ， .

　�。á螅�  ，  則 ，

　　解 ，得 ，所以，在區(qū)間 上， 為遞減函數(shù)，

　　在區(qū)間 上， 為遞增函數(shù).

　　當 ，即 時，在區(qū)間 上， 為遞增函數(shù)，所以 最大值為 .

　　當 ，即 時，在區(qū)間 上， 為遞減函數(shù)，所以 最大值為 .

　　當 ，即 時， 的最大值為 和 中較大者；

　　，解得 ，

　　所以， 時， 最大值為 ，  時， 最大值為 .

　　綜上所述，當 時， 最大值為 ，當 時， 的最大值為 .

　　41、解：（1）設過原點 且和函數(shù) 的圖象相切的切線的切點為 ，則：

　　，又 ，切線 的斜率 ，

　　解 ， ．

　　結合圖象知，點 與原點 連成直線的斜率取值范圍是 ；………４分

　�。�2）由已知可設 各點的坐標分別為

　　則 且 ∴ ∴

　　∵直線 過原點 ，∴ ，∴ ，于是 ，即 ，∴直線 也過原點 ．　………8分

　�。�3）當直線 與 軸平行時， ，

　　∴ = ……………10分

　　于是方程 可化為 ，

　　由于 ，且 不是該方程的解，所以原方程等價于 ，………11分

　　令 ，則 對一切 成立，

　　所以和 在 和 都是增函數(shù)，   …………………………………13分

　　又因為 ； ，    …………15分

　　所以方程 有且只有兩個實根，并且分別在區(qū)間 和 上，

　　所求整數(shù) 的值為1和 ．                     …………………………………16分；

　　42、解：(Ⅰ)由 得到： ，[來源:學科網(wǎng)ZXXK]

　　，故 在 有唯一的極值點， ，

　　， ，

　　且知 ，所以最大值為 ．…………………6分

　　(Ⅱ) ，又 有兩個不等的實根 ，

　　則 ，兩式相減得到:  …………………8分[來源:學科網(wǎng)]

　　于是

　　， …………………10分

　　要證： ，只需證：

　　只需證：        ①

　　令 ，只需證： 在 上恒成立，

　　又∵

　　∵ ，則 ，于是由 可知 ，

　　故知  在 上 為增函數(shù)，

　　則 ，從而知 ，即①成立，從而 原不等式成立.………15分

　　43、 解：（1）設 ，

　　∵ 是偶函數(shù)，∴ ，∴ ；      （4分）

　�。�2）設

　　∴    （8分）

　　由 知， ，∴      （11分）

　　（3）設

　　∵ 是偶函數(shù)，∴ ，

　　即 ，∴ 得   （13分）

　　則

　　，∵ 有最小值則必有 ，且有

　　∴ ，   16分

　　在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)．18分

　　44、解：(1)當a=-2，f(x)=-2x2+8x+3最大值11，令|f(x)|=5只須考慮-2x2+8x+3=5

　　得x=2± . 如圖， (a)=2- .

　　(2) f（x）=a（x+ ）2+3﹣ ．

　　（1）當3﹣ ＞5，即﹣8＜a＜0時，

　　l（a）是方程ax2+8x+3=5的較小根，故l（a）= ．

　�。�2）當3﹣ ≤5，即a≤﹣8時，

　　l（a）是方程ax2+8x+3=﹣5的較大根，故l（a）= ．

　　綜合以上，l（a）=

　　當a≤﹣8時，l（a）= = ≤ = ；

　　當﹣8＜a＜0時，l（a）= = ＜ ＜ ．

　　所以a=﹣8時，l（a）取得最大值 ．

　　三、考前熱身

　　1、   2、           。    3、(1) 3    　。 (2) 0＜a＜2且a ，4、     -2      。  5、　 �。�

　　6、   7、    8、1或-1    9、充分必要條件  10、    11、   12

　　13、3   14、      15、   16、   17、    18、4  19、 20、1    21、　4　．

　　22、解：（Ⅰ）依題意，有 ， ．因此， 的解析式為 ；

　�。á颍┯� （ ）得 （ ），解之得 （ ）

　　由此可得  :  且 ，所以實數(shù) 的取值范圍是 ．

　　23、解：（Ⅰ） ，  依題意有 ，故 ．

　　從而 ．

　　的定義域為 ，當 時， ；

　　當 時， ；       當 時， ．

　　從而， 分別在區(qū)間 單調增加，在區(qū)間 單調減少．

　�。á颍� 的定義域為 ， ．

　　方程 的判別式 ．

　　（�。┤� ，即 ，在 的定義域內(nèi) ，故 的極值．

　�。áⅲ┤� ，則 或 ．

　　若 ， ， ．

　　當 時， ，當 時， ，所以 無極值．

　　若 ， ， ， 也無極值．

　�。á＃┤� ，即 或 ，則 有兩個不同的實根 ， ．

　　當 時， ，從而 有 的定義域內(nèi)沒有零點，故 無極值．

　　當 時， ， ， 在 的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，由根值判別方法知 在 取得極值．綜上， 存在極值時， 的取值范圍為 ．

　　的極值之和為 ．