高二數(shù)學(xué)橢圓與相交直線的弦長(zhǎng)公式
來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)資源 2009-10-10 16:34:24
[標(biāo)簽：高二 公式 數(shù)學(xué)公式 數(shù)學(xué)]
解：如果需要,推一個(gè)便是.設(shè)橢圓和直線的方程分別為
X^2/a^2+Y^2/b^2=1和X/A+Y/B=0
即b^2?X^2+a^2?Y^2=a^2?b^2┅┅┅①
和BX+AY=0┅┅┅②
由②得Y=-BX/A
代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2
∴X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]
從而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]
記弦為PQ,則P(ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
Q(-ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
于是|PQ|^2=(2ab)^2/[(Ab)^2+(aB)^2]+(2abB)^2/abB/{A^2[(Ab)^2+(aB)^2]}
∴弦長(zhǎng)|PQ|=(2ab/A)√{[A^2+B^2]/[(Ab)^2+(aB)^2]}
注意:這是對(duì)于以原點(diǎn)為中心,長(zhǎng)軸在橫軸上的橢圓被直線截得的弦長(zhǎng)公式,其中a,b分別為橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸,A,B分別為直線在X軸上和Y軸上的截距.(其它情況,自行同樣推導(dǎo))
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