數(shù)學的三大核心領域之三

　　數(shù)學發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學世界中擁有100多個主要分支學科的龐大的“共和國”。大體說來，數(shù)學中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學的范疇；研究形的部分，屬于幾何學的范籌；溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分，屬于分析學的范圍。這三大類數(shù)學構成了整個數(shù)學的本體與核心。在這一核心的周圍，由于數(shù)學通過數(shù)與形這兩個概念，與其它科學互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學科和交*學科。本章簡要介紹數(shù)學三大核心領域中十幾門主要分支學科的有關歷史發(fā)展情況。
　　
　　1、算術
　　
　　算術有兩種含義，一種是從中國傳下來的，相當于一般所說的“數(shù)學”，如《九章算術》等。另一種是從歐洲數(shù)學翻譯過來的，源自希臘語，有“計算技術”之意。現(xiàn)在一般所說的“算術”，往往指自然數(shù)的四則運算；如果是在高等數(shù)學中，則有“數(shù)論”的含義。作為現(xiàn)代小學課程內(nèi)容的算術，主要講的是自然數(shù)、正分數(shù)以及它們的四則運算，并通過由計數(shù)和度量而引起的一些最簡單的應用題加以鞏固。
　　
　　算術是數(shù)學中最古老的一個分支，它的一些結論是在長達數(shù)千年的時間里，緩慢而逐漸地建立起來的。它們反映了在許多世紀中積累起來，并不斷凝固在人們意識中的經(jīng)驗。
　　
　　自然數(shù)是在對于對象的有限集合進行計算的過程中，產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中要求人們不僅要計算單個的對象，還要計算各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的量度需要，就要用到分數(shù)。
　　
　　現(xiàn)代初等算術運算方法的發(fā)展，起源于印度，時間可能在10世紀或11世紀。它后來被阿拉伯人采用，之后傳到西歐。15世紀，它被改造成現(xiàn)在的形式。在印度算術的后面，明顯地存在著我國古代的影響。
　　
　　19世紀中葉，格拉斯曼第一次成功地挑選出一個基本公理體系，來定義加法與乘法運算；而算術的其它命題，可以作為邏輯的結果，從這一體系中被推導出來。后來，皮亞諾進一步完善了格拉斯曼的體系。
　　
　　算術的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎，深刻地反映了世界的客觀規(guī)律性。盡管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開它。同時，它又構成了數(shù)學其它分支的最堅實的基礎。
　　
　　2、初等代數(shù)
　　
　　作為中學數(shù)學課程主要內(nèi)容的初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程理論。代數(shù)一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數(shù)方程理論在初等代數(shù)中是由一元一次方程向兩個方面擴展的：其一是增加未知數(shù)的個數(shù)，考察由有幾個未知數(shù)的若干個方程所構成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)；其二是增高未知量的次數(shù)，考察一元二次方程或準二次方程。初等代數(shù)的主要內(nèi)容在16世紀便已基本上發(fā)展完備了。
　　
　　古巴比倫(公元前19世紀～前17世紀)解決了一次和二次方程問題，歐幾里得的《原本》(公元前4世紀)中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的《九章算術》(公元1世紀)中有三次方程和一次聯(lián)立方程組的解法，并運用了負數(shù)。3世紀的丟番圖用有理數(shù)求一次、二次不定方程的解。13世紀我國出現(xiàn)的天元術(李冶《測圓海鏡》)是有關一元高次方程的數(shù)值解法。16世紀意大利數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了三次和四次方程的解法。
　　
　　代數(shù)學符號發(fā)展的歷史，可分為三個階段。第一個階段為三世紀之前，對問題的解不用縮寫和符號，而是寫成一篇論文，稱為文字敘述代數(shù)。第二個階段為三世紀至16世紀，對某些較常出現(xiàn)的量和運算采用了縮寫的方法，稱為簡化代數(shù)。三世紀的丟番圖的杰出貢獻之一，就是把希臘代數(shù)學簡化，開創(chuàng)了簡化代數(shù)。然而此后文字敘述代數(shù)，在除了印度以外的世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀。第三個階段為16世紀以后，對問題的解多半表現(xiàn)為由符號組成的數(shù)學速記，這些符號與所表現(xiàn)的內(nèi)容沒有什么明顯的聯(lián)系，稱為符號代數(shù)。16世紀韋達的名著《分析方法入門》，對符號代數(shù)的發(fā)展有不少貢獻。16世紀末，維葉特開創(chuàng)符號代數(shù)，經(jīng)笛卡爾改進后成為現(xiàn)代的形式。
　　
　　“＋”、“－”號第一次在數(shù)學書中出現(xiàn)，是1489年魏德曼的著作。不過正式為大家所公認，作為加、減法運算的符號，那是從1514年由荷伊克開始的。1540年，雷科德開始使用現(xiàn)在使用“＝”。到1591年，韋達在著作中大量使用后，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特創(chuàng)用大于號“＞”和小于號“＜”。1631年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘除運算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號，并引進用字母表中頭前的字母表示已知數(shù)、后面的字母表示未知數(shù)的習慣做法。至于“≮”、“≯”、“≠”這三個符號的出現(xiàn)，那是近代的事了。
　　
　　數(shù)的概念的拓廣，在歷史上并不全是由解代數(shù)方程所引起的，但習慣上仍把它放在初等代數(shù)里，以求與這門課程的安排相一致。公元前4世紀，古希臘人發(fā)現(xiàn)無理數(shù)。公元前2世紀(西漢時期)，我國開始應用負數(shù)。1545年，意大利的卡爾達諾開始使用虛數(shù)。1614年，英國的耐普爾發(fā)明對數(shù)。17世紀末，一般的實數(shù)指數(shù)概念才逐步形成。
　　
　　3、高等代數(shù)
　　
　　在高等代數(shù)中，一次方程組（即線性方程組）發(fā)展成為線性代數(shù)理論；而—、二次方程發(fā)展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數(shù)等內(nèi)容的一門近世代數(shù)分支學科，而后者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數(shù)分支學科。作為大學課程的高等代數(shù)，只研究它們的基礎。
　　
　　1683年關孝和(日本人)最早引入行列式概念。關于行列式理論最系統(tǒng)的論述，則是雅可比1841年的《論行列式的形成與性質(zhì)》一書。在邏輯上，矩陣的概念先于行列式的概念；而在歷史上，次序正相反。凱雷在1855年引入了矩陣的概念，在1858年發(fā)表了關于這個課題的第一篇重要文章《矩陣論的研究報告》。
　　
　　19世紀，行列式和矩陣受到人們極大的關注，出現(xiàn)了千余篇關于這兩個課題的文章。但是，它們在數(shù)學上并不是大的改革，而是速記的一種表達式。不過已經(jīng)證明它們是高度有用的工具。
　　
　　多項式代數(shù)的研究始于對3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解決了被簡化為缺2次項的3次方程的求解問題。1540年，費爾拉里成功地發(fā)現(xiàn)了一般4次方程的代數(shù)解法。人們繼續(xù)尋求5次、6次或更高次方程的求根公式，但這些努力在200多年中付諸東流。
　　
　　1746年，達朗貝爾首先給出了“代數(shù)學基本定理”的證明(有不完善之處)。這個定理斷言：每一個實系數(shù)或復系數(shù)的n次代數(shù)方程，至少有一個實根或復根。因此，一般地說，n次代數(shù)方程應當有n個根。1799年，22歲的高斯在寫博士論文中，給出了這個定理的第一個嚴格的證明。1824年，22歲的阿貝爾證明了：高于4次的一般方程的全部系數(shù)組成的根式，不可能是它的根。1828年，年僅17歲的伽羅華創(chuàng)立了“伽羅華理論”，包含了方程能用根號解出的充分必要條件。
　　
　　4、數(shù)論
　　
　　以正整數(shù)作為研究對象的數(shù)論，可以看作是算術的一部分，但它不是以運算的觀點，而是以數(shù)的結構的觀點，即一個數(shù)可用性質(zhì)較簡單的其它數(shù)來表達的觀點來研究數(shù)的。因此可以說，數(shù)論是研究由整數(shù)按一定形式構成的數(shù)系的科學。
　　
　　早在公元前3世紀，歐幾里得的《原本》討論了整數(shù)的一些性質(zhì)。他證明素數(shù)的個數(shù)是無窮的，他還給出了求兩個數(shù)的公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。這與我國《九章算術》中的“更相減損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大于給定的自然數(shù)N的全部素數(shù)的“篩法”：在寫出從1到N的全部整數(shù)的紙草上，依次挖去2、3、5、7……的倍數(shù)(各自的2倍，3倍，……)以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素數(shù)了。
　　
　　當兩個整數(shù)之差能被正整數(shù)m除盡時，便稱這兩個數(shù)對于“模”m同余。我國《孫子算經(jīng)》(公元4世紀)中計算一次同余式組的“求一術”，有“中國剩余定理”之稱。13世紀，秦九韶已建立了比較完整的同余式理論——“大衍求一術”，這是數(shù)論研究的內(nèi)容之一。
　　
　　丟番圖的《算術》中給出了求x?＋y?＝z?所有整數(shù)解的方法。費爾馬指出x^n＋y^n＝z^n在n＞3時無整數(shù)解，對于該問題的研究產(chǎn)生了19世紀的數(shù)論。之后高斯的《數(shù)論研究》(1801年)形成了系統(tǒng)的數(shù)論。
　　
　　數(shù)論的古典內(nèi)容基本上不借助于其它數(shù)學分支的方法，稱為初等數(shù)論。17世紀中葉以后，曾受數(shù)論影響而發(fā)展起來的代數(shù)、幾何、分析、概率等數(shù)學分支，又反過來促進了數(shù)論的發(fā)展，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論(研究整系數(shù)多項式的根—“代數(shù)數(shù)”)、幾何數(shù)論(研究直線坐標系中坐標均為整數(shù)的全部“整點”—“空間格網(wǎng)”)。19世紀后半期出現(xiàn)了解析數(shù)論，用分析方法研究素數(shù)的分布。二十世紀出現(xiàn)了完備的數(shù)論理論。
　　
　　5、抽象代數(shù)
　　
　　1843年，哈密頓發(fā)明了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的幾類代數(shù)。1857年，凱雷設計出另一種不可交換的代數(shù)——矩陣代數(shù)。他們的研究打開了抽象代數(shù)(也叫近世代數(shù))的大門。實際上，減弱或刪去普通代數(shù)的某些假定，或?qū)⒛承┘俣ù�之以別的假定(與其余假定是相容的)，就能研究出許多種代數(shù)體系。
　　
　　1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用“體”的說法，并研究了代數(shù)體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創(chuàng)立了環(huán)論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數(shù)、域等在內(nèi)的代數(shù)體系的研究，開創(chuàng)了抽象代數(shù)學。
　　
　　1926年，諾特完成了理想(數(shù))理論；1930年，畢爾霍夫建立格論，它源于1847年的布爾代數(shù)；第二次世界大戰(zhàn)后，出現(xiàn)了各種代數(shù)系統(tǒng)的理論和布爾巴基學派；1955年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調(diào)代數(shù)理論。
　　
　　到現(xiàn)在為止，數(shù)學家們已經(jīng)研究過200多種這樣的代數(shù)結構，其中最主要德若當代數(shù)和李代數(shù)是不服從結合律的代數(shù)的例子。這些工作的絕大部分屬于20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現(xiàn)代數(shù)學中得到了充分的反映。
　　
　　抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學學科。典型的代數(shù)系統(tǒng)有群、環(huán)、域等，它們主要起源于19世紀的群論，包含有群論、環(huán)論、伽羅華理論、格論、線性代數(shù)等許多分支，并與數(shù)學其它分支相結合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓撲、拓撲群等新的數(shù)學學科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當代大部分數(shù)學的通用語言。
　　
　　現(xiàn)在，可以籠統(tǒng)地把代數(shù)學解釋為關于字母計算的學說，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數(shù)中，字母表示數(shù)；而在高等代數(shù)和抽象代數(shù)中，字母則表示向量(或n元有序數(shù)組)、矩陣、張量、旋量、超復數(shù)等各種形式的量�？梢哉f，代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為一門關于形式運算的一般學說了。