高中數(shù)學(xué)解析幾何中求參數(shù)取值范圍的方法

　　近幾年來，與解析幾何有關(guān)的參數(shù)取值范圍的問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考考試中，這類問題不僅涉及知識(shí)面廣，綜合性大，應(yīng)用性強(qiáng)，而且情景新穎，能很好地考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是歷年來高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。學(xué)生在處理這類問題時(shí)，往往抓不住問題關(guān)鍵，無法有效地解答，這類問題求解的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，構(gòu)造相關(guān)的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何構(gòu)造不等式呢？本文介紹幾種常見的方法：

　　一、利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造不等式

　　曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)往往有一定的變化范圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點(diǎn)P(x,y)滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些范圍來構(gòu)造不等式求解,另外,也常出現(xiàn)題中有多個(gè)變量,變量之間有一定的關(guān)系,往往需要將要求的參數(shù)去表示已知的變量或建立起適當(dāng)?shù)牟坏仁?再來求解.這是解決變量取值范圍常見的策略和方法.

　　例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0 , 0)

　　求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫坐標(biāo)的關(guān)系,再利用橢圓上的點(diǎn)A,B滿足的范圍求解.

　　解: 設(shè)A,B坐標(biāo)分別為(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1

　　又∵線段AB的垂直平分線方程為

　　y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

　　令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

　　又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點(diǎn)

　　∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

　　∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.

　　分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關(guān)系,利用S的范圍解題.

　　解: 依題意有

　　∴tanθ=2S

　　∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

　　又∵0≤θ≤π

　　∴π4 <θ< p>

　　例3對(duì)于拋物線y2=4x上任一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是 ( )

　　A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

　　分析:直接設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo),利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.

　　解: 設(shè)Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

　　得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

　　∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

　　又∵ y02≥0

　　而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選( B )