如何高效突破高二數(shù)學(xué)難點(diǎn)

2024-09-11 11:23:25網(wǎng)絡(luò)整理

　　一、定位整體

　　新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“常用邏輯用語(yǔ)”的定位為：“正確使用邏輯用語(yǔ)是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)，無(wú)論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確的運(yùn)用邏輯用語(yǔ)表達(dá)自己的思想。在本模塊中，同學(xué)們將在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)常用邏輯用語(yǔ)，體會(huì)邏輯用語(yǔ)在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語(yǔ)準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行交流。” 因此，學(xué)習(xí)邏輯用語(yǔ)，不僅要了解數(shù)理邏輯的有關(guān)知識(shí)，還要體會(huì)邏輯用語(yǔ)在表述或論證中的作用，使以后的論證和表述更加準(zhǔn)確、清晰和簡(jiǎn)潔。

　　二、明確重點(diǎn)

　　“常用邏輯用語(yǔ)”分成三大節(jié)，分別為：命題及其關(guān)系，簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞，全稱量詞與存在量詞。

　　“命題及其關(guān)系”分兩小節(jié)：一、“四種命題”，此節(jié)重點(diǎn)在于四種命題形式及其關(guān)系，互為逆否命題的等價(jià)性;二、“充分條件和必要條件”，此節(jié)重點(diǎn)在于充分條件、必要條件、充要條件的準(zhǔn)確理解以及正確判斷。

　　“簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞”重點(diǎn)在于“且”、 "或”、 "非”這三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解和應(yīng)用。

　　“全稱量詞與存在量詞”重點(diǎn)在于理解全稱量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個(gè)量詞的命題的否定。

　　三、突破難點(diǎn)

　　1. "四種命題”的難點(diǎn)在于分清命題的條件和結(jié)論以及判斷命題的真假

　　例1 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。

　　(1) 全等三角形的面積相等;

　　(2) m>時(shí)，方程mx2-x+1=0無(wú)實(shí)根;

　　解析 (1) 條件為兩個(gè)三角形全等，結(jié)論為它們的面積相等。因此，原命題即為“若兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等”，逆命題為“若兩個(gè)三角形面積相等，則它們?nèi)?rdquo;，否命題為“若兩個(gè)三角形不全等，則它們的面積不相等”，逆否命題為“若兩個(gè)三角形面積不相等，則它們不全等”。根據(jù)平面幾何知識(shí)，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題。

　　(2) 原命題即為“若m>，則方程mx2-x+1=0無(wú)實(shí)根”，逆命題為“若方程mx2-x+1=0無(wú)實(shí)根，則m>”，否命題為“若m≤，則方程mx2-x+1=0有實(shí)根”，逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實(shí)根，則m≤”。根據(jù)判別式Δ=1-4m的正負(fù)可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題。

　　突破對(duì)于判斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結(jié)論，然后根據(jù)相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行判斷，當(dāng)原命題不容易直接判斷時(shí)，可以先判斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性。

　　2. "充分條件和必要條件”的難點(diǎn)在于充要性的判斷

　　例2 在下列命題中，判斷p是q的什么條件。(在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種)

　　(1) p:|p|≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根。

　　(2) p:圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切;q:c2=(a2+b2)r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　　(3) 設(shè)集合M={x|x>2}，N={x|x<3}，p:x∈M∩N;q:x∈M∪N.

　　解析 (1) 當(dāng)|p|≥2時(shí)，例如p=3，此時(shí)方程x2+px+p+3=0無(wú)實(shí)根，因此“若p則q”為假命題;當(dāng)方程x2+px+p+3=0有實(shí)根時(shí)，根據(jù)判別式有p≤-2或p≥6，此時(shí)|p|≥2成立，因此“若q則p”為真命題。故p是q的必要不充分條件。

　　(2) 若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，則圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等于r，即r=，化簡(jiǎn)可得c2=(a2+b2)r2，因此“若p則q”為真命題;反過(guò)來(lái)，由c2=(a2+b2)r2，可得r=，即圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等于r，由解析幾何知識(shí)得圓與直線相切，因此“若q則p”為真命題。故p是q的充要條件。

　　(3) M∩N=(2，3)，M∪N=R，若x∈(2，3)，此時(shí)顯然有x∈R，因此“若p則q”為真命題;反過(guò)來(lái)，若x∈R，例如x=5，此時(shí)x?埸(2，3)，因此“若q則p”為假命題。故p是q的充分不必要條件。

　　突破 ①?gòu)倪壿嫷挠^點(diǎn)理解：判斷充分性、必要性的前提是判斷給定命題的真假性，若“若p則q”為真命題，則p是q的充分條件;若“若q則p”為真命題，則p是q的必要條件;若兩者都是真命題，則p是q的充要條件;若兩者都是假命題，則p是q的既不充分也不必要條件。②從集合的觀點(diǎn)理解：建立命題p，q相應(yīng)的集合。 p:A={x|p(x)成立}，q:B={x|q(x)成立}。那么：若A?哿B，則p是q的充分條件;若B?哿A，則p是q的必要條件;若A=B，則p是q的充要條件。若A?芫B且B?芫A，則p是q的既不充分也不必要條件。

　　以上是部分突破高二數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)的方法，掌握了方法做起題來(lái)就會(huì)容易很多了，希望同學(xué)們課下多加鉆研，多加思考。