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高中數(shù)學誘導(dǎo)公式全集

2021-03-29 17:42:05網(wǎng)絡(luò)整理


高考

  高中數(shù)學誘導(dǎo)公式全集

  常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組:

  公式一:

  設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:

  sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

  cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

  tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

  cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

  公式二:

  設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  公式三:

  任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

  公式四:

  利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  公式五:

  利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  公式六:

  π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(π/2+α)=cosα

  cos(π/2+α)=-sinα

  tan(π/2+α)=-cotα

  cot(π/2+α)=-tanα

  sin(π/2-α)=cosα

  cos(π/2-α)=sinα

  tan(π/2-α)=cotα

  cot(π/2-α)=tanα

  sin(3π/2+α)=-cosα

  cos(3π/2+α)=sinα

  tan(3π/2+α)=-cotα

  cot(3π/2+α)=-tanα

  sin(3π/2-α)=-cosα

  cos(3π/2-α)=-sinα

  tan(3π/2-α)=cotα

  cot(3π/2-α)=tanα

  (以上k∈Z)

  注意:在做題時,將a看成銳角來做會比較好做。

  誘導(dǎo)公式記憶口訣

  ※規(guī)律總結(jié)※

  上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為:

  對于π/2*k±α(k∈Z)的三角函數(shù)值,

 、佼攌是偶數(shù)時,得到α的同名函數(shù)值,即函數(shù)名不改變;

 、诋攌是奇數(shù)時,得到α相應(yīng)的余函數(shù)值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

  (奇變偶不變)

  然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

 。ǚ柨聪笙蓿

  例如:

  sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數(shù),所以取sinα。

  當α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。

  所以sin(2π-α)=-sinα

  上述的記憶口訣是:

  奇變偶不變,符號看象限。

  公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α

  所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶

  水平誘導(dǎo)名不變;符號看象限。

  #

  各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割)”.

  這十二字口訣的意思就是說:

  第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;

  第二象限內(nèi)只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

  第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”,弦函數(shù)是“-”;

  第四象限內(nèi)只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

  上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦

 。

  還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負:

  函數(shù)類型第一象限第二象限第三象限第四象限

  正弦...........+............+............—............—........

  余弦...........+............—............—............+........

  正切...........+............—............+............—........

  余切...........+............—............+............—........

  同角三角函數(shù)基本關(guān)系

  同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

  倒數(shù)關(guān)系:

  tanα·cotα=1

  sinα·cscα=1

  cosα·secα=1

  商的關(guān)系:

  sinα/cosα=tanα=secα/cscα

  cosα/sinα=cotα=cscα/secα

  平方關(guān)系:

  sin^2(α)+cos^2(α)=1

  1+tan^2(α)=sec^2(α)

  1+cot^2(α)=csc^2(α)

  同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

  六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)

  構(gòu)造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

 。1)倒數(shù)關(guān)系:對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);

 。2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。

  (主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此,可得商數(shù)關(guān)系式。

 。3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。

  兩角和差公式

  兩角和與差的三角函數(shù)公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

  二倍角公式

  二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)

  sin2α=2sinαcosα

  cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

  半角公式

  半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)

  sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

  cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

  tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

  另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

  萬能公式

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

  萬能公式推導(dǎo)

  附推導(dǎo):

  sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,

 。ㄒ驗閏os^2(α)+sin^2(α)=1)

  再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

  然后用α/2代替α即可。

  同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

  三倍角公式

  三倍角的正弦、余弦和正切公式

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

  三倍角公式推導(dǎo)

  附推導(dǎo):

  tan3α=sin3α/cos3α

 。(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

 。(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

  上下同除以cos^3(α),得:

  tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

  sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

 。2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

  =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

 。3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

 。(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

  =2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

 。4cos^3(α)-3cosα

  即

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  三倍角公式聯(lián)想記憶

  ★記憶方法:諧音、聯(lián)想

  正弦三倍角:3元減4元3角(欠債了(被減成負數(shù)),所以要“掙錢”(音似“正弦”))

  余弦三倍角:4元3角減3元(減完之后還有“余”)

  ☆☆注意函數(shù)名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

  ★另外的記憶方法:

  正弦三倍角:山無司令(諧音為三無四立)三指的是"3倍"sinα,無指的是減號,四指的是"4倍",立指的是sinα立方

  余弦三倍角:司令無山與上同理

  和差化積公式

  三角函數(shù)的和差化積公式

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

  積化和差公式

  三角函數(shù)的積化和差公式

  sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

  和差化積公式推導(dǎo)

  附推導(dǎo):

  首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

  我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

  所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

  所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

  所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:

  sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

  cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

  cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

  sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

  有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式。

  我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

  把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

  sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

  cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

  cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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