高考數(shù)學(xué)必修知識·統(tǒng)計(jì)與概率知識專題總結(jié)

　　統(tǒng)計(jì)：

　　簡單隨機(jī)抽樣

　　1．總體和樣本

　　在統(tǒng)計(jì)學(xué)中 ， 把研究對象的全體叫做總體．

　　把每個(gè)研究對象叫做個(gè)體．

　　把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．

　　為了研究總體 x 的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：x？，x？……，xn 研究，我們稱它為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量．

　　2．簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨 機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

　　3．簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：

　　1>抽簽法

　　2>隨機(jī)數(shù)表法；

　　3>計(jì)算機(jī)模擬法；

　　4>使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：

　�、倏傮w變異情況；

　�、谠试S誤差范圍；

　�、鄹怕时ＷC程度。

　　4．抽簽法：

　　1>給調(diào)查對象群體中的每一個(gè)對象編號

　　2>準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽

　　3>對樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查

　　例：請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。

　　5．隨機(jī)數(shù)表法：

　　例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。

　　1.1.2系統(tǒng)抽樣

　　1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

　　把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。

　　K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

　　前提條件：總體中個(gè)體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

　　2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊�求較低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

　　1.1.3分層抽樣

　　1．分層抽樣（類型抽樣）：

　　先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

　　兩種方法：

　　1>先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

　　2>先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

　　2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

　　分層標(biāo)準(zhǔn)：

　　1>以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

　　2>以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。

　　3>以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

　　3．分層的比例問題：

　　1>按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

　　2>不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。

　　3．用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的.雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。

　　1.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)

　　1、概念：

　　1>回歸直線方程

　　2>回歸系數(shù)

　　2．最小二乘法

　　3．直線回歸方程的應(yīng)用

　　1>描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系

　　2>利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)行估計(jì)，即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間。

　　3>利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

　　4．應(yīng)用直線回歸的注意事

　　1>做回歸分析要有實(shí)際意義；

　　2>回歸分析前，最好先作出散點(diǎn)圖；

　　3>回歸直線不要外延。

　　概率：

　　隨機(jī)事件的概率及概率的意義

　　1、基本概念：

　　1>必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

　　2>不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；

　　3>確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

　　4>隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件；

　　5>頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA

　　概率的基本性質(zhì)

　　1、基本概念：

　　1>事件的包含、并事件、交事件、相等事件

　　2>若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

　　3>若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

　　4>當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

　　2、概率的基本性質(zhì)：

　　1>必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；

　　2>當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；

　　3>若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

　　4>互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：

　　>1事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；

　　>2事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；

　　>3事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對立事件是指事件A    與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形：

　　>1事件A發(fā)生B不發(fā)生；

　　>2事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

　　2.2.1—2.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

　　1、

　　1>古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。

　　2>古典概型的解題步驟；

　　>1求出總的基本事件數(shù)；

　　>2求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式

　　2.3.1—2.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

　　1、基本概念：

　　1>幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

　　2>幾何概型的概率公式：

　　2、幾何概型的特點(diǎn)：

　　1>試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；

　　2>每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．