數(shù)學奧林匹克高中訓練題(一)
2009-08-31 12:27:39網(wǎng)絡來源
數(shù)學奧林匹克高中訓練題(一) |
第一試 一、選擇題(每小題6分,共36分) 1、已知sina·cosb= –則cosa·sinb的取值范圍為……………………………( ) (A)[–1,] (B)[–] (C)[–] (D)[–] 2、一個人以勻速6m/s去追停在交通燈前的汽車,當他離汽車25m時,交通燈由紅 變綠,汽車以1m/s2的加速度勻加速開走,那么………………………………( ) (A)人可在7s內(nèi)追上汽車 (B)人可在10s內(nèi)追上汽車 (C)人追不上汽車,其間最近距離為5m (D)人追不上汽車,其間最近距離為7m 3、已知a、b是不相等的正數(shù),在a、b之間插入兩組數(shù) x1,x2,…,xn, y1,y2,…,yn, 使a,x1,x2,…,xn,b成等差數(shù)列,a,y1,y2,…,yn,b成等比數(shù)列.則下列不等式 (1) (2) (3) (4)中,為真命題的是……………………( ) (A)(1)、(3) (B)(1)、(4) (C)(2)、(3) (D)(2)、(4) 4、已知長方體的三條面對角線長為5,4,x.則x的取值范圍為………………( ) (A)(2,) (B)(3,9) (C)(3,) (D)(2,9)
5、已知直線l1:y=ax+3a+2與l2:y= –3x+3的交點在第一象限.則a的取值范圍為( ) (A)(– (B)(–∞,) (C)(–3, (D)(–+∞) 6、已知a、b、c三人的年齡次序滿足: (1)如果b不是年齡最大,那么a年齡最小; (2)如果c不是年齡最小,那么a年齡最大. 則這三個人的年齡從大到小為…………………………………………………( ) (A)bac (B)cba (C)abc (D)acb 二、填空題(每小題9分,共54分) 1、不等式(x–1)≥0的解集為 . 2、拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點,則以AB為直徑的圓的方程為 . 3、圓錐的母線長為l,它和底面所成的角為θ,這個圓錐的內(nèi)接正方體的棱長為 (正方體有4個頂點在圓錐底面上,另4個頂點在圓錐側(cè)面上). 4、在足球比賽中,甲方邊鋒從乙方球門(圖2中AB) 附近帶球過人沿直線(圖2中CD)向前推進,于 點C起腳射門。請給出使命中角∠ACB最大的一 個充分條件 (不增加輔助線). 5、觀察下列等式: 32+42=52,102+112+122=132+142,212+222+232+242=252+262+272, 362+372+382+392+402=412+422+432+442…… 其第k個等式為 . 6、集合A={x1,x2,x3,x4,x5},計算A中的二元子集兩元素之和組成集合B={3,4,5,6, 7,8,9,10,11,13}.則A= .
三、(滿分20分)橢圓的兩個端點為A(a,0)、A1(–a,0),過線段AA1 內(nèi)的點作垂線交橢圓于兩點 C、D.連AC、A1D相交于P. 求點P所在的曲線方 程.
四、(滿分20分)在直三棱住ABC–A1B1C1中,BC1⊥A1C,BC1⊥AB1.求證:△ABC 為等腰三角形.
五、(滿分20分)對于給定的角a1,a2,…,an,試討論方程xn+xn–1sina1+xn–2. sina2+…+xsinan–1+sinan=0是否有模大于2的復數(shù)根?
第二試 一、(滿分50分)在銳角△ABC中,外接圓半徑為R=1,∠A、∠B、∠C的對邊為 a、b、c.求證:
二、(滿分50分)設S為{1,2,…,50}的具有下列性質(zhì)的子集,S中任意兩個不同 元素之和不被7整除.則S中元素最多可能有幾個?
三、(滿分50分)一些選手參加競賽,其中有些選手互相認識,有些選手互相不認識, 而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人.若A與B認識,但沒有共同的 熟人,求證:A、B認識的熟人一樣多. |