幾個重要不等式(一)
2009-08-29 21:36:08網(wǎng)絡(luò)來源
幾個重要不等式(一)
一、平均值不等式
設(shè)a1,a2,…,an是n個正實數(shù),則,當且僅當a1=a2=…=an時取等號
1.二維平均值不等式的變形
(1)對實數(shù)a,b有a2+b232ab(2)對正實數(shù)a,b有
(3)對b>0,有,(4)對ab2>0有,
(5)對實數(shù)a,b有a(a-b)3b(a-b)(6)對a>0,有
(7)對a>0,有(8)對實數(shù)a,b有a232ab-b2
(9)對實數(shù)a,b及l(fā)10,有
二、例題選講
例1.證明柯西不等式
證明:法一、若或命題顯然成立,對10且10,取
代入(9)得有
兩邊平方得
法二、,即二次式不等式恒成立
則判別式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明:
(1)
(2)
證明:(1)左=[]
=
3
(2)由知
同理:
相加得:左3
例3.求證:
證明:法一、取,有
a1(a1-b)3b(a1-b),a2(a2-b)3b(a2-b),…,an(an-b)3b(an-b)
相加得(a12+a22+…+an2)-(a1+a2+…+an)b3b[(a1+a2+…+an)-nb]30
所以
法二、由柯西不等式得:(a1+a2+…+an)2=((a1×1+a2×1+…+an×1)2£(a12+a22+…+an2)(12+12+…+12)
=(a12+a22+…+an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1,a2,…,an是正實數(shù),且a1+a2+…+an<1,證明:
證明:設(shè)1-(a1+a2+…+an)=an+1>0,
則原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)
1-a1=a2+a3+…+an+13n
1-a2=a1+a3+…+an+13n
…………………………………………
1-an+1=a1+a1+…+an3n
相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)3nn+1
例5.對于正整數(shù)n,求證:
證明:法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,…,an為正數(shù),且,求證:
(1)
(2)
證明:(1)
相乘左邊3=(n2+1)n
證明(2)
左邊=-n+2(
=-n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](
3-n+2×n