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幾個(gè)重要不等式(二)柯西不等式

2009-08-29 21:35:34網(wǎng)絡(luò)來(lái)源

  幾個(gè)重要不等式(二)柯西不等式

  ,當(dāng)且僅當(dāng)bi=lai(1£i£n)時(shí)取等號(hào)

  柯西不等式的幾種變形形式

  1.設(shè)ai?R,bi>0(i=1,2,…,n)則,當(dāng)且僅當(dāng)bi=lai(1£i£n)時(shí)取等號(hào)

  2.設(shè)ai,bi同號(hào)且不為零(i=1,2,…,n),則,當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn時(shí)取等號(hào)

  例1.已知a1,a2,a3,…,an,b1,b2,…,bn為正數(shù),求證:

  證明:左邊=

  例2.對(duì)實(shí)數(shù)a1,a2,…,an,求證:

  證明:左邊=

  例3.在DABC中,設(shè)其各邊長(zhǎng)為a,b,c,外接圓半徑為R,求證:

  證明:左邊3

  例4.設(shè)a,b,c為正數(shù),且a+b+c=1,求證:

  證明:左邊=

  3

  =

  =

  例5.若n是不小于2的正整數(shù),試證:

  證明:

  所以求證式等價(jià)于

  由柯西不等式有

  于是:

  又由柯西不等式有

  <

  例6.設(shè)x1,x2,…,xn都是正數(shù)(n32)且,求證:

  證明:不等式左端即(1)

  ∵,取,則(2)

  由柯西不等式有(3)

  及

  綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得:

  三、排序不等式

  設(shè)a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列,則有:

  a1bn+a2bn-1+…+anb1£a1br1+a2br2+…+anbrn£a1b1+a2b2+…+anbn

  反序和£亂序和£同序和

  例1.對(duì)a,b,c?R+,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

  解:取兩組數(shù)a,b,c;a2,b2,c2,則有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a

  例2.正實(shí)數(shù)a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/,則有

  證明:取兩組數(shù)a1,a2,…,an;

  其反序和為,原不等式的左邊為亂序和,有

  例3.已知a,b,c?R+求證:

  證明:不妨設(shè)a3b3c>0,則>0且a123b123c12>0

  則

  例4.設(shè)a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個(gè)排列,求證:

  證明:設(shè)b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一個(gè)排列,且b1<b2<…<bn-1;

  c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一個(gè)排列,且c1<c2<…<cn-1

  則且b131,b232,…,bn-13n-1;c1£2,c2£3,…,cn-1£n

  利用排序不等式有:

  例5.設(shè)a,b,c?R+,求證:

  證明:不妨設(shè)a3b3c,則,a23b23c2>0

  由排序不等式有:

  兩式相加得

  又因?yàn)椋篴33b33c3>0,

  故

  兩式相加得

  例6.切比雪不等式:若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,則

  a1£a2£…£an且b13b23…3bn,則

  證明:由排序不等式有:

  a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn

  a1b1+a2b2+…+anbn3a1b2+a2b3+…+anb1

  a1b1+a2b2+…+anbn3a1b3+a2b4+…+anb2

  …………………………………………

  a1b1+a2b2+…+anbn3a1bn+a2b1+…+anbn-1

  將以上式子相加得:

  n(a1b1+a2b2+…+anbn)3a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)

  ∴

 

[標(biāo)簽:不等式]

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