高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：求數(shù)列通項公式的常用方法
2007-11-12 16:27:16城市快報
在高考(Q吧)中數(shù)列部分的考查既是重點又是難點，不論是選擇題或填空題中對基礎(chǔ)知識的檢驗，還是壓軸題中與其他章節(jié)知識的綜合，抓住數(shù)列的通項公式通常是解題的關(guān)鍵。
求數(shù)列通項公式常用以下幾種方法：
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項公式。
例：在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數(shù)列的通項公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷，是較簡單的基礎(chǔ)小題。
二、已知數(shù)列的前n項和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關(guān)系時，通常用轉(zhuǎn)化的方法，先求出Sn與n的關(guān)系，再由上面的(二)方法求通項公式。
例：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列{an}的通項公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項，-1為公差的等差數(shù)列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=-，當(dāng)n=1時不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。
例：設(shè)數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數(shù)列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用構(gòu)造數(shù)列方法求通項公式
題目中若給出的是遞推關(guān)系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構(gòu)造出含有 an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或Sn)與n的關(guān)系，這是近一、二年來的高考熱點，因此既是重點也是難點。
例：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通項公式 (2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首項為a1--，公比為--1的等比數(shù)列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。
證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數(shù))
由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以數(shù)列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列。
若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項公式，再轉(zhuǎn)化到an的通項公式上來。
又例：設(shè)數(shù)列{an}的首項a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為--的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
